指数劣化モデルは数学的なモデルであり、その定義式は、
h(t) = ϕ + θ exp(βt+ε−σ^2/2)
となります。
ここで、h(t)は機器の状態指標を表す時間の関数となります。
εは観測値にかかるノイズ項、ここではガウス白色ノイズN(0,σ^2)を仮定しています。
一方で、モデル指数部の-σ^2/2は、
E[ h(t) | θ, β ] = ϕ + θ exp(βt)
を満たすために、計算の便宜上導入しています。
その際、ガウス積分を用いることで、 E[ exp(ε−σ^2/2) ]=1が証明され、その結果 E[ h(t) | θ, β ] = ϕ + θ exp(βt) が保証されます。
Symbolic Math Toolboxを用いた証明は、以下をご覧ください。
ε、-σ^2/2を導入するメリットは、モデル自身が個々のセンサーのノイズを考慮した統計モデリングが可能となる点です。
複数のセンサー観測値からなる母集団（の平均的な振る舞い）を考えた場合は、「きれいな」指数関数E[ h(t) | θ, β ] = ϕ + θ exp(βt)で表現されます。
これに対して、個々のセンサー観測値のランダムノイズを考慮したモデリングを行いたい場合はεの項を導入します。
その際、平均的な振る舞いの見通しをよくするために-σ^2/2を追加します。
syms g(x,s)
g(x,s) = exp(x-s^2/2)
syms f(x,s)
f(x,s) = exp(-0.5*x^2/s^2)
assume(s>0)
Fx = int(f*g,x,-inf,+inf)/sqrt(sym(2*pi))/s
