请教符号计算及fminbnd求极值的局限性。

目标：求y=sin(x)^2*exp(-0.1*x)-0.5*sin(x)*(x+0.1)在-10到10区间上的极值。

（1）利用符号计算，即导数为零法

代码

syms x

y=sin(x)^2*exp(-0.1*x)-0.5*sin(x)*(x+0.1);

yd=diff(y,x);

xs0=solve(yd,x)

yd_xs0=vpa(subs(yd,x,xs0),6)

y_xs0=vpa(subs(y,x,xs0),6)

结果

（极值点）xs0 =

0.050838341410271656880659496266968

yd_xs0 =

2.29589e-41

（导数为0时的函数值）y_xs0 =

-0.00126332

（2）fminbnd求极小值

代码

x1=-10;x2=10;

yx=@(x)(sin(x)^2*exp(-0.1*x)-0.5*sin(x)*(x+0.1));

[xn0,fval,exitflag,output]=fminbnd(yx,x1,x2)

结果

xn0 =

2.5148

fval =

-0.4993

exitflag =

1

output =

iterations: 13

funcCount: 14

algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'

message: [1x111 char]搜索区间

（3）绘图y(x)图像，重设（收窄）fminbnd搜索区间

x11=6;x2=10;

yx=@(x)(sin(x)^2*exp(-0.1*x)-0.5*sin(x)*(x+0.1));

[xn00,fval,exitflag,output]=fminbnd(yx,x11,x2)

得出：xn00 =

8.0236

fval =

-3.5680

exitflag =

1

output =

iterations: 9

funcCount: 10

algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'

message: [1x111 char]

求出真正的最小极值点

疑问：（1）从图看目标函数有不止一个导数为0的点，为什么用符号法solve指令只找到一个导数为0的点，符号计算不是绝对精准的吗？

（2）为什么区间收窄了，fminbnd反而找到了同样存在于此前大区间的极值点？感觉这与数学直觉不符，这是由fminbnd的算法决定的吗？

望大家指点一二^_^

Answer 1

[jifac]

solve 解的这个方程是超越方程，且是多根的。solve 一般难以求出超越方程多根里的所有根，这里能求出一个已经算不错了。

fminbnd 是根据你指定的区间去搜索该区间内的极值点，但一次搜索只会返回一个极值点，当你给定的区间内有多个极值点时，具体返回的是哪个特定极值点要看fminbnd内部迭代的规则和函数特性而定，但可以肯定的是，返回的极值点必然位于你的初值区间内。如果你想针对某个特定的极值点搜索，那么你的区间就缩小到只包含该极值点，如果有多个极值点，就采用多个区间，每个只包含一个极值点去进行多次调用